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1修形所產生的初始間隙
擺線輪齒廓只要經過等距、移距或等距加移距組合修形，如果不考慮零件彈性變形的補償作用，空載時，在任一時刻，只有力臂最大的針齒與擺線輪接觸，其它針齒和擺線輪之間都存在一定的間隙；加載時，只有零件彈性變形的補償作用克服了這個間隙，其它的針齒和擺線輪才能真正接觸、參與嚙合，所以空載時與擺線輪接觸的針齒成了加載時的最先接觸針齒；在文中，把與最先接觸針齒對應的擺線輪齒廓上的接觸點稱為最先接觸點。
因為，在空載時，每個針齒都會經歷一個進入嚙合、參與嚙合和退出嚙合的傳動過程，而且轉臂每轉過一個2/Z p（Zp為針齒個數）后，就會有一個針齒進入嚙合，同時也有一個針齒退出嚙合；所以2/Zp是一個完整的嚙合傳動周期。在這個周期內，必定存在一個針齒與擺線輪接觸，也存在一個長度為2/Z p的最先接觸點分布區(qū)間。
傳統(tǒng)受力分析方法的理論基礎，是假定在整個傳動過程中理想的力臂最大處（當POp成為最大力臂時）為最先接觸點，即P！點位置存在針齒。但是，實際上，P！點位置未必有針齒存在，假定與實際工作情況不符。
基于以上論述，可以設最先接觸點位置為T，則該處的幾何相對轉角為：
T =！r p（1-k 1 cos T）aZ csin T +！r rpS 1/2 T aZ csin T
式中：！r p移距修形量；！r rp等距修形量；a偏心距；Z c擺線輪的齒數；Z p針輪的齒數；k 1 =aZ c /r p為短幅系數；r p針齒中心圓半徑；轉臂相對于某一針齒中心矢徑的轉角（即嚙合相位角）。
此時，整個擺線輪相對于針輪有一個公共轉角T后，才能在= T處首先接觸，其他各個針齒在跟隨公共轉動后，擺線輪和針齒之間仍然有一定的間隙，在理論公法線方向上的這個間隙就稱為初始間隙，用！Q i表示。
經過等距修形和移距修形后，擺線輪在沒有公共轉動以前的公法線方向上的間隙為：！r p（1-k 1 cos）S - 1 2 +！r rp（2）公共轉動后減少就是在任意最先接觸位置（= T）時，其他針齒和擺線輪之間初始間隙的計算公式。
2最先接觸點的討論
文獻中受力分析方法基于這樣一個前提：在力臂最大處最先接觸，或者說在該處有一個虛擬的針齒存在。而實際工作情況與該方法的計算前提有兩點是不同的，因而也就必然產生計算誤差。這兩點不同在于：首先，在整個傳動過程中，力臂最大處有針齒存在只是一個瞬間的特殊位置。該處虛擬針齒的存在，表明擺線輪齒廓與此虛擬針齒接觸后就不再轉動，而實際上在此位置還沒有真正接觸到針齒，只有再繼續(xù)相對轉動一個角度后才能真正和實際的針齒接觸，所以，原理論計算中的初始間隙和實際有較大差別。
其次，原來理論中將針齒的分布從0開始，每隔2/Z p存在一個針齒，均布在針齒中心圓的圓周上。但實際上，針齒相對于擺線輪齒廓是一個連續(xù)的嚙合過程，不可能僅僅局限于一個相對位置。
如果將標準擺線輪作為參考系，那么，針齒相對于擺線輪輪廓的軌跡是從齒根（=0）開始，逐步向齒頂（=）過渡，=0的一側是擺線輪的工作齒廓，同樣也可以看成是針齒的工作區(qū)域。接著，針齒相對于擺線輪廓，=到=2逐步從擺線輪的齒頂向齒根（=2）部分移動，這個過程中，擺線輪處于非工作齒廓，針齒也不可能參加傳動。然后，針齒相對于擺線輪輪廓是從齒根（=0）開始向齒頂接近，開始新的一個運動周期。
從以上討論可以看出：在力臂最大處存在針齒只是針齒相對于擺線輪嚙合的整個周期中的一個瞬間點的位置，也可以說是一個特殊位置，因為該處的力臂最大。
相對于擺線輪，針齒的運動軌跡則是從另外一個角度來看整個針齒相對于擺線輪廓線位置的分布情況，如果任意時刻假設= T為最先接觸點的位置，該處必然存在針齒，那么，其他針齒的分布從相對角參變量來說，都相對于= T以相差2/Zp在擺線輪齒廓上分布，如圖
T-1=T-2/Zp，T+1=T+2/Zp
，其他類推。由于擺線方程中曲線相對于并不是均布的，因此針齒相對于擺線齒廓，齒根部分分布稀疏，齒頂附近針齒密實。
由于在一個區(qū)域內存在著最先接觸點，上述的= T也是存在著一個區(qū)間，因此，針齒在一個周期中的分布隨著T的變化而變化，但是，一旦確定了T的位置，其他所有針齒的位置也就自然確定了。
3最先接觸點分布區(qū)間的判定
由于嚙合傳動的周期性，在2/Z p周期內，存在某一時刻，= T處針齒與下一個針齒恰好處于退出嚙合和進入嚙合的臨界位置，一般存在兩個最先接觸點。
實際計算時，在0 0之間確定一個初始的Tm，然后通過解上面的超越方程式在0和之間解得另一個！Q i =0的角度Tn。如果Tn - Tm >2/Z p，說明Tm值過小，需要增加；如果Tn - Tm <2/Z p，說明Tm值過大，需要減少；由于曲線的單調性，利用兩分法可以很方便地求出某一針齒作為最先接觸點的區(qū)間< Tm，Tn >.針齒在該區(qū)間時的初始間隙為0，在其他區(qū)間必定存在著初始間隙。
在非反弓齒廓的算法中，最先接觸點的分布區(qū)間是< T1，T2 >，T2 - T1 =2/Z p。且0必定包含在這個單一連續(xù)的最先接觸點區(qū)間內。
但是在反弓齒廓的情況下，最先接觸區(qū)就不一定是一個單一的位置區(qū)間了。特別是如果= 0處不在最先接觸區(qū)間的情況下，至少存在著兩個相互分離的位置區(qū)。但是，嚙合傳動周期長度為2/Zp的特點。0兩側存在兩個區(qū)間長度之和必定為2/Zp。
但從實際的計算中發(fā)現(xiàn)：由于修形量的不同以及齒廓參數如擺線輪齒數的不同，反弓齒廓也存在著3個最先接觸區(qū)的問題。
反弓齒廓最先接觸區(qū)間判斷流程圖由于存在兩個完全相同幾何相對轉角的最小值，比較兩個區(qū)間中相隔2i/Zp的點幾何相對轉角的大小，幾何相對轉角較小的點最先接觸。最先接觸點分布區(qū)間的判斷是進行反弓齒廓整個傳動過程受力分析的關鍵與基礎。
反弓齒廓的情況下，兩側存在兩個區(qū)間長度之和為2/Z p的區(qū)間< m1，n1 >、< m2，n2 >，使得（m1）=（n1），（m2）=（n2）。比較兩個區(qū)間中相隔2i/Z p的點幾何相對轉角的大小，幾何相對轉角較小的位置最先接觸。
設區(qū)間上幾何相對轉角最小的最先接觸點，T02為< m2，n2 >區(qū)間上幾何相對轉角最小的最先接觸點。？
1，？
2分別為< m1，n1 >、 實踐證明，反弓齒廓最先接觸區(qū)間判定流程同樣也適用于非反弓齒廓。下面給出反弓齒廓最先接觸區(qū)間的判定步驟。 3.1搜索過程分析 該算法將 3.2各種情況的判斷 經分析，可以分以下幾種情況判定最先接觸點分布區(qū)間。最先接觸點分布區(qū)間可以判定。 3.3實例 以BW390-17機型為例求解最先接觸點分布區(qū)間，結果參?？梢钥闯觯翰煌男扌畏绞剿a生的最先接觸區(qū)間個數也不同。 下面對空載時擺線輪針齒的嚙合情況加以討論。 對于第一種修形方式（！rp =-0.4mm，！r rp =0.6mm），整個傳動過程由進入（46.9（，66.9（）嚙合區(qū)的一系列針齒參與嚙合，當嚙合的針齒退出嚙合區(qū)后，下一個針齒進入嚙合區(qū)；如此反復，轉臂轉動一周過程中先后存在兩個針齒參與嚙合。 對于第二種修形方式（！r p=-1.28mm，！rrp=1.48 mm），首先由進入（31.3（，38.6（）嚙合區(qū)的一個針齒參與嚙合，當正在嚙合的針齒退出嚙合區(qū)后，再有與該嚙合針齒相位差為40（的一個針齒（即間距2個2/Zp的下一個針齒）進入（78.6（，91.3（）嚙合區(qū)；當這個正在嚙合的針齒退出嚙合區(qū)后，將會有與該嚙合針齒相位差為-60（（即相隔3個2/Zp的上一個針齒）進入（31.3（，38.6（）嚙合區(qū)；如此反復，轉臂轉動一個完整的嚙合傳動周期2/Zp過程中，先后存在兩個針齒參與嚙合，在交替進入和退出嚙合的時刻存在兩個針齒同時嚙合。 對于第三種修形方式（！rp=-1.45mm，！rrp=1.65 mm），首先由進入（30.0（，31.3（）嚙合區(qū)的一個針齒參與嚙合，當嚙合的針齒退出嚙合區(qū)后，再有與該嚙合針齒相位差為60（的一個針齒進入（91.3（，100.8（）嚙合區(qū)；當正在嚙合的針齒退出嚙合區(qū)后，然后再有與該嚙合針齒相位差-20（進入（80.8（，90.0（）嚙合區(qū)；又當正在嚙合的針齒退出嚙合區(qū)后，將會有與該嚙合針齒相位差為-60（（即相隔3個2/Zp的上一個針齒）進入（30.0（，31.3（）嚙合區(qū)；如此反復，轉臂轉動一個完整的嚙合傳動周期2/Zp過程中，先后存在三個針齒參與嚙合，在交替進入和退出嚙合的時刻存在兩個針齒同時嚙合。 根據分析，可以從最先接觸點分布區(qū)間取出若干最先接觸點，分別進行受力分析，求出基于各個最先接觸點的最大接觸力及接觸應力，然后進行比較，即可得到整個傳動過程中的最大接觸力和接觸應力。 4結論 ?。?）傳統(tǒng)的受力分析方法基于擺線輪針齒在某一特殊位置最先接觸；所以只是計算了整個傳動過程中一個位置的受力狀況，不能在全域內進行求解；（2）提出了新的初始間隙計算公式，比較符合工程實際；（3）在確定2/Zp是一個完整的嚙合傳動周期的基礎上，對最先接觸點分布規(guī)律進行了討論，提出了一種最先接觸區(qū)間的判定方法；（4）利用文中所提出的方法編制了相應的計算軟件，可以很方便地求出最先接觸區(qū)間。
